Sr Examen
Ecuación diferencial y=-e^(-y')(y'+1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
- --(y(x))
/ d \ dx
y(x) = -|1 + --(y(x))|*e
\ dx /
$$y{\left(x \right)} = - \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
y = -(y' + 1)*exp(-y')
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1} = - dx$$
o
$$\frac{dy}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{W\left(\frac{y}{e}\right) + 1}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y}{W\left(\frac{y}{e}\right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e^{1}}\right)} = C_{1} - x$$
$$- \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1\right) e^{- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1} = - dx$$
o
$$\frac{dy}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right) + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{W\left(\frac{y}{e}\right) + 1}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y}{W\left(\frac{y}{e}\right)} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \frac{y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e^{1}}\right)} = C_{1} - x$$
Respuesta
[src]
y(x) ----------- = C1 - x / -1 \ W\e *y(x)/
$$\frac{y{\left(x \right)}}{W\left(\frac{y{\left(x \right)}}{e}\right)} = C_{1} - x$$
Clasificación
factorable
lie group