Sr Examen
Ecuación diferencial 8*y-6*y'+y''=2*e^(4*x)*sin(x)+5*e^x*x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 4*x x
- 6*--(y(x)) + 8*y(x) + ---(y(x)) = 2*e *sin(x) + 5*x*e
dx 2
dx
$$8 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
8*y - 6*y' + y'' = 5*x*exp(x) + 2*exp(4*x)*sin(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$8 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -6$$
$$q = 8$$
$$s = - 5 x e^{x} - 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 6 k + 8 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2$$
$$k_{2} = 4$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{4 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(4*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{4 x} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
o
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$4 e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \left(\frac{5 x}{2} + e^{3 x} \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{5 x e^{- 3 x}}{2} + \sin{\left(x \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \left(\frac{5 x}{2} + e^{3 x} \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\frac{5 x e^{- 3 x}}{2} + \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{5 x e^{- x}}{2} - \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{5 e^{- x}}{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{5 \left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{18} - \cos{\left(x \right)}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} + C_{4} e^{4 x} + \frac{5 x e^{x}}{3} - \frac{2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{20 e^{x}}{9}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$8 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -6$$
$$q = 8$$
$$s = - 5 x e^{x} - 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 6 k + 8 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2$$
$$k_{2} = 4$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{4 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(2*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(4*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{4 x} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
o
$$e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$4 e^{4 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 5 x e^{x} + 2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \left(\frac{5 x}{2} + e^{3 x} \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{5 x e^{- 3 x}}{2} + \sin{\left(x \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \left(\frac{5 x}{2} + e^{3 x} \sin{\left(x \right)}\right) e^{- x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\frac{5 x e^{- 3 x}}{2} + \sin{\left(x \right)}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{5 x e^{- x}}{2} - \frac{2 e^{2 x} \sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{e^{2 x} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{5 e^{- x}}{2}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{5 \left(- 3 x - 1\right) e^{- 3 x}}{18} - \cos{\left(x \right)}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{2 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{4 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} + C_{4} e^{4 x} + \frac{5 x e^{x}}{3} - \frac{2 e^{4 x} \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 e^{4 x} \cos{\left(x \right)}}{5} + \frac{20 e^{x}}{9}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/20 5*x x / 4*cos(x) 2*sin(x)\ 3*x\ x
y(x) = |-- + --- + C2*e + |C1 - -------- - --------|*e |*e
\9 3 \ 5 5 / /
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{2} e^{x} + \frac{5 x}{3} + \left(C_{1} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) e^{3 x} + \frac{20}{9}\right) e^{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral