Tenemos la ecuación:
$$9 y{\left(x \right)} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -1$$
$$q = 9$$
$$s = - 3 \sin{\left(x \right)}$$
Se llama
lineal heterogéneaecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - k + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
$$k_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(1/2 - sqrt(35)*i/2)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(1/2 + sqrt(35)*i/2)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} = 3 \sin{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right) e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{3 \sqrt{35} i e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{35} i\right)}{2}} \sin{\left(x \right)}}{35}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{3 \sqrt{35} i e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{35} i\right)}{2}} \sin{\left(x \right)}}{35}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{3 \sqrt{35} i e^{\frac{x \left(-1 + \sqrt{35} i\right)}{2}} \sin{\left(x \right)}}{35}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{3 \sqrt{35} i e^{- \frac{x \left(1 + \sqrt{35} i\right)}{2}} \sin{\left(x \right)}}{35}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{3 \sqrt{35} i \left(\frac{655 e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}} + \frac{191 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}} - \frac{335 e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}} + \frac{47 \sqrt{35} i e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}}\right)}{35}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{3 \sqrt{35} i \left(\frac{2225 e^{x} e^{\sqrt{35} i x} \sin{\left(x \right)}}{- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{1951 \sqrt{35} i e^{x} e^{\sqrt{35} i x} \sin{\left(x \right)}}{- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{3670 e^{x} e^{\sqrt{35} i x} \cos{\left(x \right)}}{- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{232 \sqrt{35} i e^{x} e^{\sqrt{35} i x} \cos{\left(x \right)}}{- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}}\right)}{35}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{35} i}{2}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{x}{2}} e^{- \frac{\sqrt{35} i x}{2}} + C_{4} e^{\frac{x}{2}} e^{\frac{\sqrt{35} i x}{2}} - \frac{573 e^{x} \sin{\left(x \right)}}{- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}} + \frac{393 \sqrt{35} i e^{x} \sin{\left(x \right)}}{7 \left(- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}\right)} - \frac{141 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}} - \frac{201 \sqrt{35} i e^{x} \cos{\left(x \right)}}{7 \left(- 3335 e^{x} + 185 \sqrt{35} i e^{x}\right)} - \frac{5853 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}} - \frac{1335 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} \sin{\left(x \right)}}{7 \left(- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}\right)} - \frac{696 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}} + \frac{2202 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} \cos{\left(x \right)}}{7 \left(- 31585 e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}} + 95 \sqrt{35} i e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{3 \sqrt{35} i x}{2}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes