Sr Examen
Ecuación diferencial cosy⋅y′=x⋅(siny−2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x))*cos(y(x)) = x*(-2 + sin(y(x))) dx
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2\right)$$
cos(y)*y' = x*(sin(y) - 2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)} - 2}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\sin{\left(y \right)} - 2 \right)} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 \right)}$$
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} - 2} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)} - 2}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\sin{\left(y \right)} - 2 \right)} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 \right)}$$
Respuesta
[src]
/ 2\
| x |
| --|
| 2 |
y(x) = pi - asin\2 + C1*e /
$$y{\left(x \right)} = \pi - \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 \right)}$$
/ 2\
| x |
| --|
| 2 |
y(x) = asin\2 + C1*e /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.5707963908001958)
(-5.555555555555555, 6.01347001699904e-154)
(-3.333333333333333, 6.184791036552082e+223)
(-1.1111111111111107, 1.3866912823356178e+219)
(1.1111111111111107, 1.942558551567693e+227)
(3.333333333333334, 2.4640663427131065e-154)
(5.555555555555557, 1.425001040032242e+248)
(7.777777777777779, 4.248196243250487e+180)
(10.0, 9.486946265706564e+170)
(10.0, 9.486946265706564e+170)