Sr Examen
Ecuación diferencial cosydx=2*sqrt(1+x^2)dy+cosy*sqrt(1+x^2)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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/ 2 d / 2 d
cos(y(x)) = 2*\/ 1 + x *--(y(x)) + \/ 1 + x *--(y(x))*cos(y(x))
dx dx
$$\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \sqrt{x^{2} + 1} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
cos(y) = sqrt(x^2 + 1)*cos(y)*y' + 2*sqrt(x^2 + 1)*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x^{2} + 1} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
obtendremos
$$- \left(1 + \frac{2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \left(1 + \frac{2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$dy \left(-1 - \frac{2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}\right) = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1 - \frac{2}{\cos{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y + \log{\left(\sin{\left(y \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\sin{\left(y \right)} + 1 \right)} = Const - \operatorname{asinh}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\tan{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)} - 1 \right)} + 2 \log{\left(\tan{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)} + 1 \right)} - \operatorname{asinh}{\left(x \right)} = C_{1}$$
$$\sqrt{x^{2} + 1} \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
obtendremos
$$- \left(1 + \frac{2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \left(1 + \frac{2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
o
$$dy \left(-1 - \frac{2}{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}\right) = - \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1 - \frac{2}{\cos{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y + \log{\left(\sin{\left(y \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\sin{\left(y \right)} + 1 \right)} = Const - \operatorname{asinh}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\tan{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)} - 1 \right)} + 2 \log{\left(\tan{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)} + 1 \right)} - \operatorname{asinh}{\left(x \right)} = C_{1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8153279793052159)
(-5.555555555555555, 0.897332758138481)
(-3.333333333333333, 1.0087331439133866)
(-1.1111111111111107, 1.1855693929350928)
(1.1111111111111107, 1.4042103967992707)
(3.333333333333334, 1.4644747316407334)
(5.555555555555557, 1.4869057497880893)
(7.777777777777779, 1.4993043703773807)
(10.0, 1.507432609530508)
(10.0, 1.507432609530508)