Sr Examen
Ecuación diferencial xy'=y+(x+y)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 x*--(y(x)) = (x + y(x)) + y(x) dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + y{\left(x \right)}\right)^{2} + y{\left(x \right)}$$
x*y' = (x + y)^2 + y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + y{\left(x \right)}\right)^{2} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - 2 x^{2} u{\left(x \right)} - x^{2} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - 2 x^{2} u{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} + 2 u + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{u + 1} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{- C_{1} + x + 1}{C_{1} - x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = \frac{x \left(- C_{1} + x + 1\right)}{C_{1} - x}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(x + y{\left(x \right)}\right)^{2} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - 2 x^{2} u{\left(x \right)} - x^{2} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - 2 x^{2} u{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - x^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} - 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- u^{2}{\left(x \right)} - 2 u{\left(x \right)} - 1$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du}{u^{2}{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{u^{2} + 2 u + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{u + 1} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{- C_{1} + x + 1}{C_{1} - x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = \frac{x \left(- C_{1} + x + 1\right)}{C_{1} - x}$$
Respuesta
[src]
-x*(-1 + C1 + C1*x)
y(x) = --------------------
-1 + C1*x
$$y{\left(x \right)} = - \frac{x \left(C_{1} x + C_{1} - 1\right)}{C_{1} x - 1}$$
Clasificación
lie group