Sr Examen
Ecuación diferencial y'=2x(y-1)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 --(y(x)) = 2*x*(-1 + y(x)) dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x \left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
y' = 2*x*(y - 1)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x \left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 2 dx x$$
o
$$\frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 2 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}\, dy = \int 2 x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y - 1} = Const + x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + x^{2} - 1}{C_{1} + x^{2}}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x \left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 2 dx x$$
o
$$\frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} = 2 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}\, dy = \int 2 x\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y - 1} = Const + x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + x^{2} - 1}{C_{1} + x^{2}}$$
Respuesta
[src]
2
-1 + C1 + x
y(x) = ------------
2
C1 + x
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + x^{2} - 1}{C_{1} + x^{2}}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral