Ecuación diferencial y’tgx=y

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$\tan{\left(x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = 0,

donde
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = e^{C_{1}} \sin{\left(x \right)}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2}} \sin{\left(x \right)}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = C \sin{\left(x \right)}$$