Ecuación diferencial tgx*sin^2ydx+ctgx*cos^2ydy

Tenemos la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \tan^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \tan^{2}{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \tan^{2}{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{\tan^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \tan^{2}{\left(x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\tan^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \tan^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- y - \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const + x - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - x - y{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = C_{1}$$