Ecuación diferencial ctgx*y'=y^2+5

Tenemos la ecuación:
$$\cot{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 5} = \tan{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 5} = dx \tan{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 5} = dx \tan{\left(x \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2} + 5}\, dy = \int \tan{\left(x \right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} y}{5} \right)}}{5} = Const - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{5} \tan{\left(C_{1} - \sqrt{5} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \right)}$$