Sr Examen
Ecuación diferencial e^y*dy=(x+sin(2x))dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d y(x) --(y(x))*e = x + sin(2*x) dx
$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + \sin{\left(2 x \right)}$$
exp(y)*y' = x + sin(2*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + \sin{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{- y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{- y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - \sin{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
o
$$- dy e^{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{y}\right)\, dy = \int \left(- x - \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- e^{y} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} \right)}$$
$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x + \sin{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x - \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{- y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{- y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x - \sin{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x - \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
o
$$- dy e^{y{\left(x \right)}} = dx \left(- x - \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{y}\right)\, dy = \int \left(- x - \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- e^{y} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ 2 \
| x cos(2*x)|
y(x) = log|C1 + -- - --------|
\ 2 2 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} \right)}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral