Ecuación diferencial dx*(y^2+3)-dy*e^x*y/x=0

Tenemos la ecuación:
$$y^{2}{\left(x \right)} + 3 - \frac{y{\left(x \right)} e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)} + 3$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$- \frac{e^{x}}{x}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \left(y^{2}{\left(x \right)} + 3\right) e^{- x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)} + 3$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = x e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = dx x e^{- x}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = dx x e^{- x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{y^{2} + 3}\, dy = \int x e^{- x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y^{2} + 3 \right)}}{2} = Const + \left(- x - 1\right) e^{- x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{2 \left(- x - 1\right) e^{- x}} - 3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{2 \left(- x - 1\right) e^{- x}} - 3}$$