Sr Examen
Ecuación diferencial y^3*y''+1=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
3 d
1 + y (x)*---(y(x)) = 0
2
dx
$$y^{3}{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
y^3*y'' + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y^{3}{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y' ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy' = - \frac{dx}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y' = Const - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$
$$y^{3}{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y' ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
o
$$dy' = - \frac{dx}{y^{3}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy' = \int \left(- \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y' = Const - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - \int \frac{1}{y^{3}{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$