Ecuación diferencial y''+5y'+6y=(3x+x^10)*exp(-2x)

Tenemos la ecuación:
$$6 y{\left(x \right)} + 5 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(x^{10} + 3 x\right) e^{- 2 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 5$$
$$q = 6$$
$$s = - \left(x^{10} + 3 x\right) e^{- 2 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 5 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = -2$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{- 2 x}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 2 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(-2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{10} + 3 x\right) e^{- 2 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 2 x} = \left(x^{10} + 3 x\right) e^{- 2 x}$$
o
$$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(x^{10} + 3 x\right) e^{- 2 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x \left(x^{9} + 3\right) e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = x \left(x^{9} + 3\right)$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \left(x^{9} + 3\right) e^{x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int x \left(x^{9} + 3\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \left(- x^{10} + 10 x^{9} - 90 x^{8} + 720 x^{7} - 5040 x^{6} + 30240 x^{5} - 151200 x^{4} + 604800 x^{3} - 1814400 x^{2} + 3628797 x - 3628797\right) e^{x}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{11}}{11} + \frac{3 x^{2}}{2}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- 2 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} e^{- 2 x} + \frac{x^{11} e^{- 2 x}}{11} - x^{10} e^{- 2 x} + 10 x^{9} e^{- 2 x} - 90 x^{8} e^{- 2 x} + 720 x^{7} e^{- 2 x} - 5040 x^{6} e^{- 2 x} + 30240 x^{5} e^{- 2 x} - 151200 x^{4} e^{- 2 x} + 604800 x^{3} e^{- 2 x} - \frac{3628797 x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 3628797 x e^{- 2 x} - 3628797 e^{- 2 x}$$
donde C3 y C4 hay son constantes