Sr Examen
Ecuación diferencial dy/x-y/lnydx=o
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx y(x) -------- - --------- = o x log(y(x))
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = o$$
-y/log(y) + y'/x = o
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = o$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - o - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\frac{1}{x}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = o x + \frac{x y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- o - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{o \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{o \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{o \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{o \log{\left(y \right)} + y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \int \frac{\log{\left(y \right)}}{o \log{\left(y \right)} + y}\, dy = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{\log{\left(y \right)}}{y + o \log{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} + \frac{x^{2}}{2}$$
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = o$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - o - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\frac{1}{x}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = o x + \frac{x y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- o - \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{o \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + y{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{o \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + y{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{o \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} + y{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{o \log{\left(y \right)} + y}\right)\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \int \frac{\log{\left(y \right)}}{o \log{\left(y \right)} + y}\, dy = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{\log{\left(y \right)}}{y + o \log{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} + \frac{x^{2}}{2}$$
Respuesta
[src]
y(x)
/
| 2
| log(y) x
| ------------ dy = C1 + --
| o*log(y) + y 2
|
/
$$\int\limits^{y{\left(x \right)}} \frac{\log{\left(y \right)}}{y + o \log{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} + \frac{x^{2}}{2}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral