Ecuación diferencial sqrtx*y'=y^3

Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 y^{2}} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + 2 \sqrt{x}}}}{2}$$