Sr Examen
Ecuación diferencial y"+2x(y')^2=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
/d \ d
2*x*|--(y(x))| + ---(y(x)) = 0
\dx / 2
dx
$$2 x \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
2*x*y'^2 + y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - 2 dx x$$
o
$$\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - 2 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'^{2}}\, dy' = \int \left(- 2 x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y'} = Const - x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} + x^{2}}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{1}{C_{1} + x^{2}}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} \log{\left(- C_{1} \sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} + x \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} \log{\left(C_{1} \sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} + x \right)}}{2}$$
$$2 x \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - 2 x$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - 2 dx x$$
o
$$\frac{dy'}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}} = - 2 dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y'^{2}}\, dy' = \int \left(- 2 x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y'} = Const - x^{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} + x^{2}}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{1}{C_{1} + x^{2}}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} \log{\left(- C_{1} \sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} + x \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} \log{\left(C_{1} \sqrt{- \frac{1}{C_{1}}} + x \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
_____ / _____\ _____ / _____\
/ -1 | / -1 | / -1 | / -1 |
/ --- *log|x + C2* / --- | / --- *log|x - C2* / --- |
\/ C2 \ \/ C2 / \/ C2 \ \/ C2 /
y(x) = C1 + ------------------------------- - -------------------------------
2 2
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{2}}} \log{\left(- C_{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{2}}} + x \right)}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{C_{2}}} \log{\left(C_{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{2}}} + x \right)}}{2}$$
Clasificación
factorable
nth order reducible