Ecuación diferencial sqrt(3+y^2)+sqrt(16-9x^2)yy'=0

Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{16 - 9 x^{2}} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{1}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 3}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{16 - 9 x^{2}}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\sqrt{y^{2} + 3} = Const - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{4} \right)}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} - 6 C_{1} \operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{4} \right)} + \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{3 x}{4} \right)} - 27}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{9 C_{1}^{2} - 6 C_{1} \operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{4} \right)} + \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{3 x}{4} \right)} - 27}}{3}$$