Sr Examen
Ecuación diferencial 3e^xtgydx=(1+e^x)*(1)/(cos^2y)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d x
--(y(x)) --(y(x))*e
x dx dx
3*e *tan(y(x)) = ---------- + -----------
2 2
cos (y(x)) cos (y(x))
$$3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = \frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
3*exp(x)*tan(y) = exp(x)*y'/cos(y)^2 + y'/cos(y)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 dx e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 dx e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{3 e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const + \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- e^{C_{1}} - 6 e^{C_{1} + x} - 15 e^{C_{1} + 2 x} - 20 e^{C_{1} + 3 x} - 15 e^{C_{1} + 4 x} - 6 e^{C_{1} + 5 x} - e^{C_{1} + 6 x} - 1}{e^{C_{1}} + 6 e^{C_{1} + x} + 15 e^{C_{1} + 2 x} + 20 e^{C_{1} + 3 x} + 15 e^{C_{1} + 4 x} + 6 e^{C_{1} + 5 x} + e^{C_{1} + 6 x} - 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- e^{C_{1}} - 6 e^{C_{1} + x} - 15 e^{C_{1} + 2 x} - 20 e^{C_{1} + 3 x} - 15 e^{C_{1} + 4 x} - 6 e^{C_{1} + 5 x} - e^{C_{1} + 6 x} - 1}{e^{C_{1}} + 6 e^{C_{1} + x} + 15 e^{C_{1} + 2 x} + 20 e^{C_{1} + 3 x} + 15 e^{C_{1} + 4 x} + 6 e^{C_{1} + 5 x} + e^{C_{1} + 6 x} - 1} \right)}}{2}$$
$$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{3 e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 dx e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{3 dx e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \frac{3 e^{x}}{2 \left(e^{x} + 1\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const + \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- e^{C_{1}} - 6 e^{C_{1} + x} - 15 e^{C_{1} + 2 x} - 20 e^{C_{1} + 3 x} - 15 e^{C_{1} + 4 x} - 6 e^{C_{1} + 5 x} - e^{C_{1} + 6 x} - 1}{e^{C_{1}} + 6 e^{C_{1} + x} + 15 e^{C_{1} + 2 x} + 20 e^{C_{1} + 3 x} + 15 e^{C_{1} + 4 x} + 6 e^{C_{1} + 5 x} + e^{C_{1} + 6 x} - 1} \right)}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- e^{C_{1}} - 6 e^{C_{1} + x} - 15 e^{C_{1} + 2 x} - 20 e^{C_{1} + 3 x} - 15 e^{C_{1} + 4 x} - 6 e^{C_{1} + 5 x} - e^{C_{1} + 6 x} - 1}{e^{C_{1}} + 6 e^{C_{1} + x} + 15 e^{C_{1} + 2 x} + 20 e^{C_{1} + 3 x} + 15 e^{C_{1} + 4 x} + 6 e^{C_{1} + 5 x} + e^{C_{1} + 6 x} - 1} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ C1 C1 + 6*x C1 + 3*x C1 + 2*x C1 + 4*x C1 + x C1 + 5*x\
|-1 - e - e - 20*e - 15*e - 15*e - 6*e - 6*e |
acos|-------------------------------------------------------------------------------------------|
| C1 + x C1 + 5*x C1 + 2*x C1 + 4*x C1 + 3*x C1 C1 + 6*x|
\-1 + 6*e + 6*e + 15*e + 15*e + 20*e + e + e /
y(x) = pi - -------------------------------------------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- e^{C_{1}} - 6 e^{C_{1} + x} - 15 e^{C_{1} + 2 x} - 20 e^{C_{1} + 3 x} - 15 e^{C_{1} + 4 x} - 6 e^{C_{1} + 5 x} - e^{C_{1} + 6 x} - 1}{e^{C_{1}} + 6 e^{C_{1} + x} + 15 e^{C_{1} + 2 x} + 20 e^{C_{1} + 3 x} + 15 e^{C_{1} + 4 x} + 6 e^{C_{1} + 5 x} + e^{C_{1} + 6 x} - 1} \right)}}{2}$$
/ C1 C1 + 6*x C1 + 3*x C1 + 2*x C1 + 4*x C1 + x C1 + 5*x\
|-1 - e - e - 20*e - 15*e - 15*e - 6*e - 6*e |
acos|-------------------------------------------------------------------------------------------|
| C1 + x C1 + 5*x C1 + 2*x C1 + 4*x C1 + 3*x C1 C1 + 6*x|
\-1 + 6*e + 6*e + 15*e + 15*e + 20*e + e + e /
y(x) = -------------------------------------------------------------------------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{- e^{C_{1}} - 6 e^{C_{1} + x} - 15 e^{C_{1} + 2 x} - 20 e^{C_{1} + 3 x} - 15 e^{C_{1} + 4 x} - 6 e^{C_{1} + 5 x} - e^{C_{1} + 6 x} - 1}{e^{C_{1}} + 6 e^{C_{1} + x} + 15 e^{C_{1} + 2 x} + 20 e^{C_{1} + 3 x} + 15 e^{C_{1} + 4 x} + 6 e^{C_{1} + 5 x} + e^{C_{1} + 6 x} - 1} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.7505588922724239)
(-5.555555555555555, 0.7557077396738522)
(-3.333333333333333, 0.8024780096347308)
(-1.1111111111111107, 1.1420053233185088)
(1.1111111111111107, 1.5544891094756448)
(3.333333333333334, 1.5707524544775098)
(5.555555555555557, 1.5707962651861005)
(7.777777777777779, 1.5707963280191577)
(10.0, 1.5707963270009309)
(10.0, 1.5707963270009309)