Sr Examen
Ecuación diferencial (3*e^x*tan(y))dx+((1+e^x)dy/(cos(y))^2)dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d x
dy*--(y(x)) dy*--(y(x))*e
x dx dx
3*e *tan(y(x)) + ----------- + -------------- = 0
2 2
cos (y(x)) cos (y(x))
$$\frac{dy e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{dy \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + 3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
dy*exp(x)*y'/cos(y)^2 + dy*y'/cos(y)^2 + 3*exp(x)*tan(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{dy e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{dy \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + 3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{3 e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{3 e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2 dy}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{dy} \right)}} \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{dy} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{dy e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + \frac{dy \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} + 3 e^{x} \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{3 e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(2 y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{3 dx e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(2 y \right)}}\, dy = \int \left(- \frac{3 e^{x}}{2 dy \left(e^{x} + 1\right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(2 y \right)} + 1 \right)}}{4} = Const - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{2 dy}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{dy} \right)}} \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{dy} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$
Respuesta
[src]
/ 1 \
asin|------------------------|
| / / x\\|
| | 3*log\1 + e /||
|tanh|C1 - -------------||
\ \ dy // 3*pi
y(x) = - ------------------------------ + ----
2 4
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{dy} \right)}} \right)}}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
/ 1 \
asin|------------------------|
| / / x\\|
| | 3*log\1 + e /||
|tanh|C1 - -------------||
\ \ dy // pi
y(x) = ------------------------------ + --
2 4
$$y{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{\tanh{\left(C_{1} - \frac{3 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}{dy} \right)}} \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$
Clasificación
factorable
separable
almost linear
1st power series
lie group
separable Integral
almost linear Integral