Sr Examen
Ecuación diferencial y'y''=1
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
--(y(x))*---(y(x)) = 1
dx 2
dx
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1$$
y'*y'' = 1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = dx$$
o
$$dy' \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y'\, dy' = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'^{2}}{2} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 x}$$
$$\operatorname{y'2} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 x}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sqrt{C_{1} + 2 x}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\left(C_{1} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sqrt{C_{1} + 2 x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(C_{1} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$\frac{1}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = dx$$
o
$$dy' \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y'\, dy' = \int 1\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{y'^{2}}{2} = Const + x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 x}$$
$$\operatorname{y'2} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 x}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sqrt{C_{1} + 2 x}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\left(C_{1} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sqrt{C_{1} + 2 x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(C_{1} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
Respuesta
[src]
3/2
(C2 + 2*x)
y(x) = C1 - -------------
3
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{\left(C_{2} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
3/2
(C2 + 2*x)
y(x) = C1 + -------------
3
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + \frac{\left(C_{2} + 2 x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
Clasificación
nth order reducible