Ecuación diferencial 3(1+t^2)dy/dt=2ty(y^3-1)

Tenemos la ecuación:
$$\left(3 t^{2} + 3\right) \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 2 t \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 3 t^{2} + 3$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - t$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - 2 \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(t)
$$3 t^{2} + 3$$
obtendremos
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \frac{2 t \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}}{3 \left(t^{2} + 1\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- 2 \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2 \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}} = - \frac{t}{3 t^{2} + 3}$$
Con esto hemos separado las variables t y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2 \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}} = - \frac{dt t}{3 t^{2} + 3}$$
o
$$- \frac{dy}{2 \left(y^{3}{\left(t \right)} - 1\right) y{\left(t \right)}} = - \frac{dt t}{3 t^{2} + 3}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{2 y \left(y^{3} - 1\right)}\right)\, dy = \int \left(- \frac{t}{3 t^{2} + 3}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y \right)}}{2} - \frac{\log{\left(y^{3} - 1 \right)}}{6} = Const - \frac{\log{\left(t^{2} + 1 \right)}}{6}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} t^{2} + C_{1} - 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(t \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} t^{2} + C_{1} - 1}} \left(-1 + \sqrt{3} i\right)}{2}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(t \right)} = \frac{\sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} t^{2} + C_{1} - 1}} \left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{2}$$