Ecuación diferencial dy/y+e^xdx/e^x+1=0

Tenemos la ecuación:
$$1 + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + \frac{1}{dx} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{dx}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} + \frac{y{\left(x \right)}}{dx}$$
obtendremos
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(dx + 1\right) y{\left(x \right)}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(dx + 1\right) y{\left(x \right)}} = - dx$$
o
$$\frac{dx dy}{\left(dx + 1\right) y{\left(x \right)}} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{dx}{y \left(dx + 1\right)}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{dx \log{\left(y \right)}}{dx + 1} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - \frac{1}{dx}\right)}$$