Sr Examen
Ecuación diferencial 4y''+3y'+4y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
3*--(y(x)) + 4*---(y(x)) + 4*y(x) = 0
dx 2
dx
$$4 y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 4 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
4*y + 3*y' + 4*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} + \frac{3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{3}{4}$$
$$q = 1$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{3 k}{4} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{3}{8} - \frac{\sqrt{55} i}{8}$$
$$k_{2} = - \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{55} i}{8}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{3}{8} - \frac{\sqrt{55} i}{8}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{55} i}{8}\right)}$$
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} + \frac{3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{4} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = \frac{3}{4}$$
$$q = 1$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{3 k}{4} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{3}{8} - \frac{\sqrt{55} i}{8}$$
$$k_{2} = - \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{55} i}{8}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{3}{8} - \frac{\sqrt{55} i}{8}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{55} i}{8}\right)}$$
Respuesta
[src]
-3*x
/ / ____\ / ____\\ ----
| |x*\/ 55 | |x*\/ 55 || 8
y(x) = |C1*sin|--------| + C2*cos|--------||*e
\ \ 8 / \ 8 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{55} x}{8} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{55} x}{8} \right)}\right) e^{- \frac{3 x}{8}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary