Ecuación diferencial xy'+x^2+xy-y=0

Tenemos la ecuación:
$$x^{2} + x y{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x^{2} u{\left(x \right)} + x^{2} - x u{\left(x \right)} + x \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$x^{2} u{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x^{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u{\left(x \right)} + 1$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u{\left(x \right)} + 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$
o
$$\frac{du}{u{\left(x \right)} + 1} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u + 1}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(u + 1 \right)} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} - 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(C_{1} e^{- x} - 1\right)$$