Sr Examen
Ecuación diferencial 2y''-4y'+8y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 4*--(y(x)) + 2*---(y(x)) + 8*y(x) = 0
dx 2
dx
$$8 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
8*y - 4*y' + 2*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$2$$
Recibimos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -2$$
$$q = 4$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = 1 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}$$
$$2$$
Recibimos la ecuación:
$$4 y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = -2$$
$$q = 4$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$k_{2} = 1 + \sqrt{3} i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(1 - \sqrt{3} i\right)} + C_{2} e^{x \left(1 + \sqrt{3} i\right)}$$
Respuesta
[src]
/ / ___\ / ___\\ x y(x) = \C1*sin\x*\/ 3 / + C2*cos\x*\/ 3 //*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + C_{2} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) e^{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary