Sr Examen
Ecuación diferencial dy/dt=ky(n-y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(t)) = k*(n - y(t))*y(t) dt
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
y' = k*(n - y)*y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = - k$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = - dt k$$
o
$$- \frac{dy}{\left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = - dt k$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{y \left(n - y\right)}\right)\, dy = \int \left(- k\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{- \log{\left(y \right)} + \log{\left(- n + y \right)}}{n} = Const - k t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = \frac{n e^{n \left(C_{1} + k t\right)}}{e^{n \left(C_{1} + k t\right)} - 1}$$
$$\frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = k \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - k$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = - k$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{\left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = - dt k$$
o
$$- \frac{dy}{\left(n - y{\left(t \right)}\right) y{\left(t \right)}} = - dt k$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{y \left(n - y\right)}\right)\, dy = \int \left(- k\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{- \log{\left(y \right)} + \log{\left(- n + y \right)}}{n} = Const - k t$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(t \right)} = \frac{n e^{n \left(C_{1} + k t\right)}}{e^{n \left(C_{1} + k t\right)} - 1}$$
Respuesta
[src]
n*(C1 + k*t)
n*e
y(t) = ------------------
n*(C1 + k*t)
-1 + e
$$y{\left(t \right)} = \frac{n e^{n \left(C_{1} + k t\right)}}{e^{n \left(C_{1} + k t\right)} - 1}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral