Tenemos la ecuación:
$$\left(x^{2} - x y{\left(x \right)}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x^{2} u^{2}{\left(x \right)} - x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} = 0$$
o
$$- x^{3} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x^{3} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + x^{2} u{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)} - 1}$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(- \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}}\right) = - \frac{dx}{x}$$
o
$$\frac{du \left(- \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{- \frac{d}{d x} u + \frac{\frac{d}{d x} u}{u}}{\frac{d}{d x} u}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con uSolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
False
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - x W\left(\frac{C_{1}}{x}\right)$$