Ecuación diferencial xy*lny-(x^4+7)^1/2*y'

Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} - \sqrt{x^{4} + 7} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \sqrt{x^{4} + 7}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = -1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\sqrt{x^{4} + 7}$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\sqrt{x^{4} + 7}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{4} + 7}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{4} + 7}}$$
o
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{x^{4} + 7}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{x^{4} + 7}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const - \frac{\operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{7} x^{2}}{7} \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} e^{\frac{\operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{7} x^{2}}{7} \right)}}{2}}}$$