Ecuación diferencial xsinxy'+(sinx+xcosx)y=xe^x

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$x \sin{\left(x \right)}$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x \sin{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} = \frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y' + P(x)y = Q(x)

donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y' + P(x)y = 0

con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:

De y' + P(x)y = 0 obtenemos

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}\, dx = \left(\log{\left(x \right)} + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}\right) + Const$$
Solución detallada de la integral
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x \sin{\left(x \right)}}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x \sin{\left(x \right)}}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{x \sin{\left(x \right)}}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y' + P(x)y = Q(x)

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x

$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = x e^{x}$$
Es decir, C(x) =
$$\int x e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x} + Const$$
Solución detallada de la integral
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{\left(x - 1\right) e^{x} + Const}{x \sin{\left(x \right)}}$$