Sr Examen
Ecuación diferencial 3*y''+2*y'+5*y=1
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
2*--(y(t)) + 3*---(y(t)) + 5*y(t) = 1
dt 2
dt
$$5 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + 3 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 1$$
5*y + 2*y' + 3*y'' = 1
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{5 y{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{5}{3}$$
$$s = - \frac{1}{3}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{2 k}{3} + \frac{5}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + C_{2} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t*(-1/3 - sqrt(14)*i/3)) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(t*(-1/3 + sqrt(14)*i/3)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} = \frac{1}{3}$$
o
$$e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right) e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right) e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 + \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 - \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 + \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 - \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{14} i \left(\frac{3 \sqrt{14} i e^{\frac{t}{3}} e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{-13 + 2 \sqrt{14} i} + \frac{3 e^{\frac{t}{3}} e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{-13 + 2 \sqrt{14} i}\right)}{28}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{14} i \left(- \frac{3 e^{\frac{t}{3}}}{13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}} + \frac{3 \sqrt{14} i e^{\frac{t}{3}}}{13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}\right)}{28}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- \frac{t}{3}} e^{- \frac{\sqrt{14} i t}{3}} + C_{4} e^{- \frac{t}{3}} e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + \frac{3 \sqrt{14} i}{28 \left(-13 + 2 \sqrt{14} i\right)} - \frac{3}{2 \left(-13 + 2 \sqrt{14} i\right)} + \frac{3 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{2 \left(13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}\right)} + \frac{3 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{28 \left(13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{5 y{\left(t \right)}}{3} + \frac{2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{5}{3}$$
$$s = - \frac{1}{3}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{2 k}{3} + \frac{5}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}$$
$$k_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + C_{2} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t*(-1/3 - sqrt(14)*i/3)) (C1=1, C2=0),
y2(t) = exp(t*(-1/3 + sqrt(14)*i/3)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} = \frac{1}{3}$$
o
$$e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right) e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right) e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 + \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 - \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 + \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{14} i e^{\frac{t \left(1 - \sqrt{14} i\right)}{3}}}{28}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \frac{\sqrt{14} i \left(\frac{3 \sqrt{14} i e^{\frac{t}{3}} e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{-13 + 2 \sqrt{14} i} + \frac{3 e^{\frac{t}{3}} e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{-13 + 2 \sqrt{14} i}\right)}{28}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{14} i \left(- \frac{3 e^{\frac{t}{3}}}{13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}} + \frac{3 \sqrt{14} i e^{\frac{t}{3}}}{13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}\right)}{28}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t \left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{14} i}{3}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} e^{- \frac{t}{3}} e^{- \frac{\sqrt{14} i t}{3}} + C_{4} e^{- \frac{t}{3}} e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + \frac{3 \sqrt{14} i}{28 \left(-13 + 2 \sqrt{14} i\right)} - \frac{3}{2 \left(-13 + 2 \sqrt{14} i\right)} + \frac{3 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{2 \left(13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}\right)} + \frac{3 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}}{28 \left(13 e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}} + 2 \sqrt{14} i e^{\frac{\sqrt{14} i t}{3}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
-t
/ / ____\ / ____\\ ---
1 | |t*\/ 14 | |t*\/ 14 || 3
y(t) = - + |C1*sin|--------| + C2*cos|--------||*e
5 \ \ 3 / \ 3 //
$$y{\left(t \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{\sqrt{14} t}{3} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{14} t}{3} \right)}\right) e^{- \frac{t}{3}} + \frac{1}{5}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral