Sr Examen
Ecuación diferencial 4y"+36y=csc3x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d
4*---(y(x)) + 36*y(x) = csc(3*x)
2
dx
$$36 y{\left(x \right)} + 4 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \csc{\left(3 x \right)}$$
36*y + 4*y'' = csc(3*x)
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = 9$$
$$s = - \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - 3 i$$
$$k_{2} = 3 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2} \cos{\left(3 x \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(3 x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
o
$$\sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 3 \sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{12 \tan{\left(3 x \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{1}{12 \tan{\left(3 x \right)}}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{1}{12}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{36}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x}{12}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(3 x \right)} + C_{4} \cos{\left(3 x \right)} - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{12} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{36}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$9 y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = 9$$
$$s = - \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 9 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - 3 i$$
$$k_{2} = 3 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(x \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(3 x \right)} + C_{2} \cos{\left(3 x \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = sin(3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = cos(3*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \cos{\left(3 x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
o
$$\sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 3 \sin{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\csc{\left(3 x \right)}}{4}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{12 \tan{\left(3 x \right)}}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{1}{12 \tan{\left(3 x \right)}}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{1}{12}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{36}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{x}{12}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} \sin{\left(3 x \right)} + C_{4} \cos{\left(3 x \right)} - \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{12} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{36}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ x \ / log(sin(3*x))\
y(x) = |C1 - --|*cos(3*x) + |C2 + -------------|*sin(3*x)
\ 12/ \ 36 /
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} - \frac{x}{12}\right) \cos{\left(3 x \right)} + \left(C_{2} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{36}\right) \sin{\left(3 x \right)}$$
Clasificación
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral