Sr Examen
Ecuación diferencial (x-y)dx+(x-y+1)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
d d d
x - y(x) + x*--(y(x)) - --(y(x))*y(x) + --(y(x)) = 0
dx dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y' + x - y*y' - y + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} + 1$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) - \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) + u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) - 1 = 0$$
o
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -2 + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-2 + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{2 u - 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{4} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} e^{4 x - 1}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} + 1$$
$$y1 = y(x) = x - \frac{W\left(C_{1} e^{4 x - 1}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} + 1$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) - \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) + u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} + 1\right) - 1 = 0$$
o
$$- u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -2 + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-2 + \frac{1}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} - 1} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{2 u - 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u}{2} - \frac{\log{\left(2 u - 1 \right)}}{4} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{W\left(C_{1} e^{4 x - 1}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} + 1$$
$$y1 = y(x) = x - \frac{W\left(C_{1} e^{4 x - 1}\right)}{2} + \frac{1}{2}$$
Clasificación
1st power series
lie group