Ecuación diferencial yxsqrt(x^2+1)dx-sqrtydy=0

Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{x^{2} + 1} y{\left(x \right)} - \sqrt{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x \sqrt{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = x \sqrt{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = dx x \sqrt{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = dx x \sqrt{x^{2} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = \int x \sqrt{x^{2} + 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y} = Const + \frac{x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{3} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{3}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + \frac{C_{1} x^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}{6} + \frac{C_{1} \sqrt{x^{2} + 1}}{6} + \frac{x^{6}}{36} + \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{36}$$