Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \left(2 y{\left(x \right)} - 3\right)}{x^{2} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 3 - 2 y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$3 - 2 y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 3} = \frac{x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy}{2 y{\left(x \right)} - 3} = \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{2 y - 3}\right)\, dy = \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con ySolución detallada de la integral con xTomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(2 y - 3 \right)}}{2} = Const + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + 3 x^{2}}{2 \left(x^{2} + 1\right)}$$