Ecuación diferencial 4y"-4y'+y=9/2(exp(2x)+2exp(x)+1)

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{4} - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{9 e^{2 x}}{8} + \frac{9 e^{x}}{4} + \frac{9}{8}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -1$$
$$q = \frac{1}{4}$$
$$s = - \frac{9 e^{2 x}}{8} - \frac{9 e^{x}}{4} - \frac{9}{8}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - k + \frac{1}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = \frac{1}{2}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = \frac{1}{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x}{2}} + C_{2} x e^{\frac{x}{2}}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{2}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x/2) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(x/2) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{9 e^{2 x}}{8} + \frac{9 e^{x}}{4} + \frac{9}{8}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{\frac{x}{2}} = \frac{9 e^{2 x}}{8} + \frac{9 e^{x}}{4} + \frac{9}{8}$$
o
$$x e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2} = \frac{9 e^{2 x}}{8} + \frac{9 e^{x}}{4} + \frac{9}{8}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{9 x \left(e^{2 x} + 2 e^{x} + 1\right) e^{- \frac{x}{2}}}{8}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{9 \left(e^{2 x} + 2 e^{x} + 1\right) e^{- \frac{x}{2}}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{9 x \left(e^{2 x} + 2 e^{x} + 1\right) e^{- \frac{x}{2}}}{8}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{9 \left(e^{2 x} + 2 e^{x} + 1\right) e^{- \frac{x}{2}}}{8}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(16 - 24 x\right) e^{\frac{3 x}{2}}}{32} + \frac{\left(288 - 144 x\right) e^{\frac{x}{2}}}{32} + \frac{\left(72 x + 144\right) e^{- \frac{x}{2}}}{32}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{4} + \frac{9 e^{\frac{x}{2}}}{2} - \frac{9 e^{- \frac{x}{2}}}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{x}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{x}{2}} + C_{4} x e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{2 x}}{2} + 9 e^{x} + \frac{9}{2}$$
donde C3 y C4 hay son constantes