Sr Examen
Ecuación diferencial 2xy'y''=(y')^2-4
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2 2
d d /d \
2*x*--(y(x))*---(y(x)) = -4 + |--(y(x))|
dx 2 \dx /
dx
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4$$
2*x*y'*y'' = y'^2 - 4
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 dy' \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y'}{y'^{2} - 4}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y'^{2} - 4 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x + 4}$$
$$\operatorname{y'2} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x + 4}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sqrt{C_{1} x + 4}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{2 \left(C_{1} x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sqrt{C_{1} x + 4}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{2 \left(C_{1} x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4}{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 dy' \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2} - 4} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 y'}{y'^{2} - 4}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y'^{2} - 4 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x + 4}$$
$$\operatorname{y'2} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x + 4}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \sqrt{C_{1} x + 4}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{2 \left(C_{1} x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \sqrt{C_{1} x + 4}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{2 \left(C_{1} x + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{3 C_{1}}$$
Clasificación
factorable
nth order reducible