Tenemos la ecuación:
y'' = $$\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Es una ecuación diferencial de la forma:
y'' = f(x)
Se resuelve multiplicando las dos partes de la ecuación por dx:
y''dx = f(x)dx, o
d(y') = f(x)dx
Y tomando integrales de las dos partes de la ecuación:
∫ d(y') = ∫ f(x) dx
o
y' = ∫ f(x) dx
En nuestro caso,
f(x) = $$\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
y' = $$x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$ + C1
donde C1 es la constante que no depende de x.
Repitamos una vez más:
∫ dy =
Es decir, la solución será
y = $$\int \left(C_{1} + x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integralo
y = $$C_{1} x + \frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$ + C2
donde C2 es la constante que no depende de x