Sr Examen
Ecuación diferencial y"+y'-6y=30cos3x-234xsin3x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
-6*y(x) + --(y(x)) + ---(y(x)) = 30*cos(3*x) - 234*x*sin(3*x)
dx 2
dx
$$- 6 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
-6*y + y' + y'' = -234*x*sin(3*x) + 30*cos(3*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 6 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 1$$
$$q = -6$$
$$s = 234 x \sin{\left(3 x \right)} - 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k - 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = 2$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{2 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
o
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(\frac{234 x \sin{\left(3 x \right)}}{5} - 6 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{3 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{6 \left(- 39 x \sin{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(\frac{234 x \sin{\left(3 x \right)}}{5} - 6 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{3 x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{6 \left(- 39 x \sin{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{39 x e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{39 x e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5} - e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{8 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{36 x e^{- 2 x} \sin{\left(3 x \right)}}{5} + \frac{54 x e^{- 2 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5} + \frac{12 e^{- 2 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} e^{2 x} + 15 x \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$- 6 y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 1$$
$$q = -6$$
$$s = 234 x \sin{\left(3 x \right)} - 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k - 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -3$$
$$k_{2} = 2$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{2 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-3*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 3 x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{2 x} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
o
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$2 e^{2 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - 3 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - 234 x \sin{\left(3 x \right)} + 30 \cos{\left(3 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(\frac{234 x \sin{\left(3 x \right)}}{5} - 6 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{3 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{6 \left(- 39 x \sin{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(\frac{234 x \sin{\left(3 x \right)}}{5} - 6 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{3 x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{6 \left(- 39 x \sin{\left(3 x \right)} + 5 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{- 2 x}}{5}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{39 x e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{39 x e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5} - e^{3 x} \sin{\left(3 x \right)} + \frac{8 e^{3 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{36 x e^{- 2 x} \sin{\left(3 x \right)}}{5} + \frac{54 x e^{- 2 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5} + \frac{12 e^{- 2 x} \cos{\left(3 x \right)}}{5}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 3 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{2 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 3 x} + C_{4} e^{2 x} + 15 x \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
-3*x 2*x y(x) = -sin(3*x) + 4*cos(3*x) + C1*e + C2*e + 3*x*cos(3*x) + 15*x*sin(3*x)
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 3 x} + C_{2} e^{2 x} + 15 x \sin{\left(3 x \right)} + 3 x \cos{\left(3 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + 4 \cos{\left(3 x \right)}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral