Ecuación diferencial y'=(5*x-6*y+1)/(2*x-5*y+3)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{5 x - 6 y{\left(x \right)} + 1}{2 x - 5 y{\left(x \right)} + 3} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} + 1$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$- \frac{5 x}{2 x - 5 \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 2} + \left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\left(x - 1\right) u{\left(x \right)} + 1\right)}{2 x - 5 \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 2} + u{\left(x \right)} - \frac{1}{2 x - 5 \left(x - 1\right) u{\left(x \right)} - 2} = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{- 5 u^{2}{\left(x \right)} + 8 u{\left(x \right)} - 5}{5 u{\left(x \right)} - 2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x - 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{- 5 u^{2}{\left(x \right)} + 8 u{\left(x \right)} - 5}{5 u{\left(x \right)} - 2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x - 1$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = \frac{- 5 u^{2}{\left(x \right)} + 8 u{\left(x \right)} - 5}{\left(x - 1\right) \left(5 u{\left(x \right)} - 2\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{- 5 u^{2}{\left(x \right)} + 8 u{\left(x \right)} - 5}{5 u{\left(x \right)} - 2}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(5 u{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u^{2}{\left(x \right)} - 8 u{\left(x \right)} + 5} = \frac{1}{x - 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(5 u{\left(x \right)} - 2\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 u^{2}{\left(x \right)} - 8 u{\left(x \right)} + 5} = \frac{dx}{x - 1}$$
o
$$- \frac{du \left(5 u{\left(x \right)} - 2\right)}{5 u^{2}{\left(x \right)} - 8 u{\left(x \right)} + 5} = \frac{dx}{x - 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{5 u - 2}{5 u^{2} - 8 u + 5}\right)\, du = \int \frac{1}{x - 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(u^{2} - \frac{8 u}{5} + 1 \right)}}{2} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{5 u}{3} - \frac{4}{3} \right)}}{3} = Const + \log{\left(x - 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 1}{x - 1}$$
$$- \frac{\log{\left(1 - \frac{8 \left(y{\left(x \right)} - 1\right)}{5 \left(x - 1\right)} + \frac{\left(y{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} - \frac{5 \left(y{\left(x \right)} - 1\right)}{3 \left(x - 1\right)} \right)}}{3} = Const + \log{\left(x - 1 \right)}$$