Sr Examen
Ecuación diferencial dy/y^5=x^4dx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(x)) dx 4 -------- = x 5 y (x)
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = x^{4}$$
y'/y^5 = x^4
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = x^{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{5}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{5}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - x^{4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{5}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{5}}\right)\, dy = \int \left(- x^{4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{4 y^{4}} = Const - \frac{x^{5}}{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{5} i \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{5} i \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = x^{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x^{4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{5}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{5}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - x^{4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{5}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{5}{\left(x \right)}} = - dx x^{4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{5}}\right)\, dy = \int \left(- x^{4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{4 y^{4}} = Const - \frac{x^{5}}{5}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{5} i \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{5} i \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
Respuesta
[src]
___________
4 ___ / -1
y(x) = -\/ 5 * / ---------
4 / 5
\/ C1 + 4*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
___________
4 ___ / -1
y(x) = \/ 5 * / ---------
4 / 5
\/ C1 + 4*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
___________
4 ___ / -1
y(x) = -I*\/ 5 * / ---------
4 / 5
\/ C1 + 4*x
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt[4]{5} i \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
___________
4 ___ / -1
y(x) = I*\/ 5 * / ---------
4 / 5
\/ C1 + 4*x
$$y{\left(x \right)} = \sqrt[4]{5} i \sqrt[4]{- \frac{1}{C_{1} + 4 x^{5}}}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
separable reduced
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
separable reduced Integral