Sr Examen

Ecuación diferencial y"+8y'=8x

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
               2            
  d           d             
8*--(y(x)) + ---(y(x)) = 8*x
  dx           2            
             dx             
$$8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 8 x$$
8*y' + y'' = 8*x
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$8 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 8 x$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 8$$
$$q = 0$$
$$s = - 8 x$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 8 k = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -8$$
$$k_{2} = 0$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- 8 x} + C_{2}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 8 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-8*x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = 1 (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 8 x$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 8 x} = 8 x$$
o
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 8 e^{- 8 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 8 x$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x e^{8 x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = x$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x e^{8 x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int x\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(1 - 8 x\right) e^{8 x}}{64}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{x^{2}}{2}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- 8 x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- 8 x} + C_{4} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{8} + \frac{1}{64}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta [src]
             2               
            x    x       -8*x
y(x) = C1 + -- - - + C2*e    
            2    8           
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} e^{- 8 x} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{8}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth order reducible
nth linear constant coeff variation of parameters Integral