Sr Examen
Ecuación diferencial ydx-(4-x^2)*lnydy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d
- 4*--(y(x))*log(y(x)) + x *--(y(x))*log(y(x)) + y(x) = 0
dx dx
$$x^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x^2*log(y)*y' + y - 4*log(y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} - 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2} - 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} - 4}$$
o
$$\frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} - 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} - 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}{2}}$$
$$x^{2} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} - 4}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2} - 4}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} - 4}$$
o
$$\frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2} - 4}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} - 4}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}{2}}$$
Respuesta
[src]
___ _______________________________
-\/ 2 *\/ C1 - log(-2 + x) + log(2 + x)
-----------------------------------------
2
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}{2}}$$
___ _______________________________
\/ 2 *\/ C1 - log(-2 + x) + log(2 + x)
---------------------------------------
2
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\frac{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \log{\left(x - 2 \right)} + \log{\left(x + 2 \right)}}}{2}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8608606308140226)
(-5.555555555555555, 1.0000000002761458)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 7.566503212566957e-67)
(7.777777777777779, 8.388243567336332e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)