Ecuación diferencial (1+e^x)*y*y`=e^x

Tenemos la ecuación:
$$\left(e^{x} + 1\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$
o
$$dy y{\left(x \right)} = \frac{dx e^{x}}{e^{x} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int y\, dy = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(e^{x} + 1 \right)}}$$