Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 5x+15=x-1
-
Ecuación 3x^2=0
- Ecuación x^2-49=0
-
Ecuación 1-x/2=x/3
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 4*x-1*y=-3
- -11*x+9*y=-20
- 9*x+17*y=13
- -19*x+14*y=20
-
Expresiones idénticas
- z^ tres -i= cero
- z al cubo menos i es igual a 0
- z en el grado tres menos i es igual a cero
- z3-i=0
- z³-i=0
- z en el grado 3-i=0
- z^3-i=O
-
Expresiones semejantes
- z^3+i=0
z^3-i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} - i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = i^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z^{3} - i = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
o
$$z = \sqrt[3]{i}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = i^1/3
Obtenemos la respuesta: z = i^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = i$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = i$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - i$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - i$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - i$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___
I \/ 3 I \/ 3
-I + - - ----- + - + -----
2 2 2 2
$$\left(- i + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ ___\ / ___\ |I \/ 3 | |I \/ 3 | -I*|- - -----|*|- + -----| \2 2 / \2 2 /
$$- i \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
I
$$i$$
i
Respuesta rápida
[src]
z1 = -I
$$z_{1} = - i$$
___
I \/ 3
z2 = - - -----
2 2
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
z3 = - + -----
2 2
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
z3 = sqrt(3)/2 + i/2
Respuesta numérica
[src]
z1 = -1.0*i
z2 = 0.866025403784439 + 0.5*i
z3 = -0.866025403784439 + 0.5*i
z3 = -0.866025403784439 + 0.5*i