sqrt(7+3x)-sqrt(5-4x)+1=0 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\left(- \sqrt{5 - 4 x} + \sqrt{3 x + 7}\right) + 1 = 0$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{5 - 4 x} + \sqrt{3 x + 7} + 1\right)^{2} = 0$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(5 - 4 x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(5 - 4 x\right) \left(3 x + 7\right)} + 1^{2} \left(3 x + 7\right)\right) = 0$$
o
$$- x - 2 \sqrt{- 12 x^{2} - 13 x + 35} + 12 = 0$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- 12 x^{2} - 13 x + 35} = x - 12$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 48 x^{2} - 52 x + 140 = \left(x - 12\right)^{2}$$
$$- 48 x^{2} - 52 x + 140 = x^{2} - 24 x + 144$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 49 x^{2} - 28 x - 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -49$$
$$b = -28$$
$$c = -4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-28)^2 - 4 * (-49) * (-4) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = --28/2/(-49)

$$x_{1} = - \frac{2}{7}$$

Como
$$\sqrt{- 12 x^{2} - 13 x + 35} = 6 - \frac{x}{2}$$
y
$$\sqrt{- 12 x^{2} - 13 x + 35} \geq 0$$
entonces
$$6 - \frac{x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq 12$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = - \frac{2}{7}$$
comprobamos:
$$x_{1} = - \frac{2}{7}$$
$$- \sqrt{5 - 4 x_{1}} + \sqrt{3 x_{1} + 7} + 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{5 - - \frac{8}{7}} + \sqrt{\frac{\left(-2\right) 3}{7} + 7}\right) + 1 = 0$$
=

1 = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones