Sr Examen
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación x^2-4x+5=0
-
Ecuación x^2+3x+2=0
-
Ecuación x^2+3x=4
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Ecuación -x^2+5*x-6=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 10*x-2*y=0
- 1*x+4*y=20
- 3*x-7*y=13
- 13*x-15*y=-6
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro *y+ dos *x^ tres *y+x*y- dos *y^ dos = cero
- x en el grado 4 multiplicar por y más 2 multiplicar por x al cubo multiplicar por y más x multiplicar por y menos 2 multiplicar por y al cuadrado es igual a 0
- x en el grado cuatro multiplicar por y más dos multiplicar por x en el grado tres multiplicar por y más x multiplicar por y menos dos multiplicar por y en el grado dos es igual a cero
- x4*y+2*x3*y+x*y-2*y2=0
- x⁴*y+2*x³*y+x*y-2*y²=0
- x en el grado 4*y+2*x en el grado 3*y+x*y-2*y en el grado 2=0
- x^4y+2x^3y+xy-2y^2=0
- x4y+2x3y+xy-2y2=0
- x^4*y+2*x^3*y+x*y-2*y^2=O
-
Expresiones semejantes
- x^4*y-2*x^3*y+x*y-2*y^2=0
- x^4*y+2*x^3*y-x*y-2*y^2=0
- x^4*y+2*x^3*y+x*y+2*y^2=0
x^4*y+2*x^3*y+x*y-2*y^2=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
4 3 2 x *y + 2*x *y + x*y - 2*y = 0
$$- 2 y^{2} + \left(x y + \left(x^{4} y + 2 x^{3} y\right)\right) = 0$$
Solución detallada
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -2$$
$$b = x^{4} + 2 x^{3} + x$$
$$c = 0$$
, entonces
La ecuación tiene dos raíces.
o
$$y_{1} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{\left(x^{4} + 2 x^{3} + x\right)^{2}}}{4}$$
$$y_{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{\left(x^{4} + 2 x^{3} + x\right)^{2}}}{4}$$
a*y^2 + b*y + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -2$$
$$b = x^{4} + 2 x^{3} + x$$
$$c = 0$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(x + x^4 + 2*x^3)^2 - 4 * (-2) * (0) = (x + x^4 + 2*x^3)^2
La ecuación tiene dos raíces.
y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$y_{1} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{\left(x^{4} + 2 x^{3} + x\right)^{2}}}{4}$$
$$y_{2} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{\left(x^{4} + 2 x^{3} + x\right)^{2}}}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
reescribamos la ecuación
$$- 2 y^{2} + \left(x y + \left(x^{4} y + 2 x^{3} y\right)\right) = 0$$
de
$$a y^{2} + b y + c = 0$$
como ecuación cuadrática reducida
$$y^{2} + \frac{b y}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$- \frac{x^{4} y}{2} - x^{3} y - \frac{x y}{2} + y^{2} = 0$$
$$p y + q + y^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{x^{4}}{2} - x^{3} - \frac{x}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = \frac{x^{4}}{2} + x^{3} + \frac{x}{2}$$
$$y_{1} y_{2} = 0$$
$$- 2 y^{2} + \left(x y + \left(x^{4} y + 2 x^{3} y\right)\right) = 0$$
de
$$a y^{2} + b y + c = 0$$
como ecuación cuadrática reducida
$$y^{2} + \frac{b y}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$- \frac{x^{4} y}{2} - x^{3} y - \frac{x y}{2} + y^{2} = 0$$
$$p y + q + y^{2} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = - \frac{x^{4}}{2} - x^{3} - \frac{x}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = \frac{x^{4}}{2} + x^{3} + \frac{x}{2}$$
$$y_{1} y_{2} = 0$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
y1 = 0
$$y_{1} = 0$$
4 4
3 im (x) re (x) re(x) /im(x) 3 3 3 2 \ 2 2 2
y2 = re (x) + ------ + ------ + ----- + I*|----- - im (x) - 2*im (x)*re(x) + 2*re (x)*im(x) + 3*re (x)*im(x)| - 3*im (x)*re (x) - 3*im (x)*re(x)
2 2 2 \ 2 /
$$y_{2} = i \left(2 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} \operatorname{im}{\left(x\right)} + 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)}}{2}\right) + \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2} + \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} - 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} - 3 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} + \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)}}{2} + \frac{\left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2}$$
y2 = i*(2*re(x)^3*im(x) + 3*re(x)^2*im(x) - 2*re(x)*im(x)^3 - im(x)^3 + im(x)/2) + re(x)^4/2 + re(x)^3 - 3*re(x)^2*im(x)^2 - 3*re(x)*im(x)^2 + re(x)/2 + im(x)^4/2
Suma y producto de raíces
[src]
suma
4 4
3 im (x) re (x) re(x) /im(x) 3 3 3 2 \ 2 2 2
re (x) + ------ + ------ + ----- + I*|----- - im (x) - 2*im (x)*re(x) + 2*re (x)*im(x) + 3*re (x)*im(x)| - 3*im (x)*re (x) - 3*im (x)*re(x)
2 2 2 \ 2 /
$$i \left(2 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} \operatorname{im}{\left(x\right)} + 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)}}{2}\right) + \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2} + \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} - 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} - 3 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} + \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)}}{2} + \frac{\left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2}$$
=
4 4
3 im (x) re (x) re(x) /im(x) 3 3 3 2 \ 2 2 2
re (x) + ------ + ------ + ----- + I*|----- - im (x) - 2*im (x)*re(x) + 2*re (x)*im(x) + 3*re (x)*im(x)| - 3*im (x)*re (x) - 3*im (x)*re(x)
2 2 2 \ 2 /
$$i \left(2 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} \operatorname{im}{\left(x\right)} + 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)}}{2}\right) + \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2} + \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} - 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} - 3 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} + \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)}}{2} + \frac{\left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2}$$
producto
/ 4 4 \ | 3 im (x) re (x) re(x) /im(x) 3 3 3 2 \ 2 2 2 | 0*|re (x) + ------ + ------ + ----- + I*|----- - im (x) - 2*im (x)*re(x) + 2*re (x)*im(x) + 3*re (x)*im(x)| - 3*im (x)*re (x) - 3*im (x)*re(x)| \ 2 2 2 \ 2 / /
$$0 \left(i \left(2 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} \operatorname{im}{\left(x\right)} + 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \operatorname{im}{\left(x\right)} - 2 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} - \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{3} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)}}{2}\right) + \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2} + \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{3} - 3 \left(\operatorname{re}{\left(x\right)}\right)^{2} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} - 3 \operatorname{re}{\left(x\right)} \left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{2} + \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)}}{2} + \frac{\left(\operatorname{im}{\left(x\right)}\right)^{4}}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
0