Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
- Ecuación x^2-49=0
-
Ecuación 1-x/2=x/3
-
Ecuación 3*x^2-9=0
-
Ecuación -8x-17=3x-105
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 4*x-1*y=-3
- -11*x+9*y=-20
- -19*x+14*y=20
- 5*x-14*y=-15
-
Expresiones idénticas
- w^ tres = uno /(sqrt3+i)
- w al cubo es igual a 1 dividir por ( raíz cuadrada de 3 más i)
- w en el grado tres es igual a uno dividir por ( raíz cuadrada de 3 más i)
- w^3=1/(√3+i)
- w3=1/(sqrt3+i)
- w3=1/sqrt3+i
- w³=1/(sqrt3+i)
- w en el grado 3=1/(sqrt3+i)
- w^3=1/sqrt3+i
- w^3=1 dividir por (sqrt3+i)
-
Expresiones semejantes
- w^3=1/(sqrt3-i)
w^3=1/(sqrt3+i) la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$w^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{3} + i}}$$
o
$$w = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + i}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: w = (i + sqrt(3))^(-1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{2}{\sqrt{3} + i}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{2}{\sqrt{3} + i}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
$$w^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{3} + i}}$$
o
$$w = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + i}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
w = i+sqrt+3)^-1/3
Obtenemos la respuesta: w = (i + sqrt(3))^(-1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
donde
$$r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = \frac{2}{\sqrt{3} + i}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{2}{\sqrt{3} + i}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p w^{2} + q w + v + w^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$w_{1} + w_{2} + w_{3} = - p$$
$$w_{1} w_{2} + w_{1} w_{3} + w_{2} w_{3} = q$$
$$w_{1} w_{2} w_{3} = v$$
$$w_{1} + w_{2} + w_{3} = 0$$
$$w_{1} w_{2} + w_{1} w_{3} + w_{2} w_{3} = 0$$
$$w_{1} w_{2} w_{3} = - \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
$$p w^{2} + q w + v + w^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$w_{1} + w_{2} + w_{3} = - p$$
$$w_{1} w_{2} + w_{1} w_{3} + w_{2} w_{3} = q$$
$$w_{1} w_{2} w_{3} = v$$
$$w_{1} + w_{2} + w_{3} = 0$$
$$w_{1} w_{2} + w_{1} w_{3} + w_{2} w_{3} = 0$$
$$w_{1} w_{2} w_{3} = - \frac{1}{\sqrt{3} + i}$$
Gráfica
Respuesta rápida
[src]
2/3 /pi\ 2/3 /pi\
2 *cos|--| I*2 *sin|--|
\18/ \18/
w1 = ------------ - --------------
2 2
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
/ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\
|2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|
| \18/ \18/| \18/ \18/
w2 = I*|------------ - ------------------| - ------------ - ------------------
\ 4 4 / 4 4
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)$$
/ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\
|2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|
| \18/ \18/| \18/ \18/
w3 = I*|------------ + ------------------| - ------------ + ------------------
\ 4 4 / 4 4
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)$$
w3 = -2^(2/3)*cos(pi/18)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*sin(pi/18)/4 + i*(2^(2/3)*sin(pi/18)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*cos(pi/18)/4)
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 /pi\ 2/3 /pi\ / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\ / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\
2 *cos|--| I*2 *sin|--| |2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--| |2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|
\18/ \18/ | \18/ \18/| \18/ \18/ | \18/ \18/| \18/ \18/
------------ - -------------- + I*|------------ - ------------------| - ------------ - ------------------ + I*|------------ + ------------------| - ------------ + ------------------
2 2 \ 4 4 / 4 4 \ 4 4 / 4 4
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right)$$
=
/ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ |2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| |2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| I*2 *sin|--| | \18/ \18/| | \18/ \18/| \18/ I*|------------ - ------------------| + I*|------------ + ------------------| - -------------- \ 4 4 / \ 4 4 / 2
$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right) - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)$$
producto
/ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\\ / / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ / / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ |2 *cos|--| I*2 *sin|--|| | |2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|| | |2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|| | \18/ \18/| | | \18/ \18/| \18/ \18/| | | \18/ \18/| \18/ \18/| |------------ - --------------|*|I*|------------ - ------------------| - ------------ - ------------------|*|I*|------------ + ------------------| - ------------ + ------------------| \ 2 2 / \ \ 4 4 / 4 4 / \ \ 4 4 / 4 4 /
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right)$$
=
___ I \/ 3 - - + ----- 4 4
$$\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
-i/4 + sqrt(3)/4
Respuesta numérica
[src]
w1 = -0.27146156765474 + 0.745834527381153*i
w2 = 0.781642431559009 - 0.137824649950423*i
w3 = -0.510180863904268 - 0.60800987743073*i
w3 = -0.510180863904268 - 0.60800987743073*i