Sr Examen

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w^3=1/(sqrt3+i) la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 3       1    
w  = ---------
       ___    
     \/ 3  + I
w3=13+iw^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
w3=13+iw^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
w33=13+i3\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{3} + i}}
o
w=13+i3w = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + i}}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
w = i+sqrt+3)^-1/3

Obtenemos la respuesta: w = (i + sqrt(3))^(-1/3)

Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=wz = w
entonces la ecuación será así:
z3=13+iz^{3} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=13+ir^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{\sqrt{3} + i}
donde
r=2232r = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=23+ie^{3 i p} = \frac{2}{\sqrt{3} + i}
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=23+ii \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{2}{\sqrt{3} + i}
es decir
cos⁡(3p)=32\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
y
sin⁡(3p)=−12\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}
entonces
p=2πN3−π18p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=223cos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
z2=−223cos⁡(π18)4−2233sin⁡(π18)4−2233icos⁡(π18)4+223isin⁡(π18)4z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}
z3=−223cos⁡(π18)4+2233sin⁡(π18)4+223isin⁡(π18)4+2233icos⁡(π18)4z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}
hacemos cambio inverso
z=wz = w
w=zw = z

Entonces la respuesta definitiva es:
w1=223cos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
w2=−223cos⁡(π18)4−2233sin⁡(π18)4−2233icos⁡(π18)4+223isin⁡(π18)4w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}
w3=−223cos⁡(π18)4+2233sin⁡(π18)4+223isin⁡(π18)4+2233icos⁡(π18)4w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
pw2+qw+v+w3=0p w^{2} + q w + v + w^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=−13+iv = - \frac{1}{\sqrt{3} + i}
Fórmulas de Cardano-Vieta
w1+w2+w3=−pw_{1} + w_{2} + w_{3} = - p
w1w2+w1w3+w2w3=qw_{1} w_{2} + w_{1} w_{3} + w_{2} w_{3} = q
w1w2w3=vw_{1} w_{2} w_{3} = v
w1+w2+w3=0w_{1} + w_{2} + w_{3} = 0
w1w2+w1w3+w2w3=0w_{1} w_{2} + w_{1} w_{3} + w_{2} w_{3} = 0
w1w2w3=−13+iw_{1} w_{2} w_{3} = - \frac{1}{\sqrt{3} + i}
Gráfica
Respuesta rápida [src] 
      2/3    /pi\      2/3    /pi\
     2   *cos|--|   I*2   *sin|--|
             \18/             \18/
w1 = ------------ - --------------
          2               2
w1=223cos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} 
       / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
       |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
       |        \18/                 \18/|           \18/                 \18/
w2 = I*|------------ - ------------------| - ------------ - ------------------
       \     4                 4         /        4                 4
w2=−223cos⁡(π18)4−2233sin⁡(π18)4+i(−2233cos⁡(π18)4+223sin⁡(π18)4)w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right) 
       / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
       |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
       |        \18/                 \18/|           \18/                 \18/
w3 = I*|------------ + ------------------| - ------------ + ------------------
       \     4                 4         /        4                 4
w3=−223cos⁡(π18)4+2233sin⁡(π18)4+i(223sin⁡(π18)4+2233cos⁡(π18)4)w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right) 
w3 = -2^(2/3)*cos(pi/18)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*sin(pi/18)/4 + i*(2^(2/3)*sin(pi/18)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)*cos(pi/18)/4)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
 2/3    /pi\      2/3    /pi\     / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\     / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
2   *cos|--|   I*2   *sin|--|     |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|     |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
        \18/             \18/     |        \18/                 \18/|           \18/                 \18/     |        \18/                 \18/|           \18/                 \18/
------------ - -------------- + I*|------------ - ------------------| - ------------ - ------------------ + I*|------------ + ------------------| - ------------ + ------------------
     2               2            \     4                 4         /        4                 4              \     4                 4         /        4                 4
((−223cos⁡(π18)4−2233sin⁡(π18)4+i(−2233cos⁡(π18)4+223sin⁡(π18)4))+(223cos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2))+(−223cos⁡(π18)4+2233sin⁡(π18)4+i(223sin⁡(π18)4+2233cos⁡(π18)4))\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) 
=
  / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\     / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\      2/3    /pi\
  |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||     |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   I*2   *sin|--|
  |        \18/                 \18/|     |        \18/                 \18/|             \18/
I*|------------ - ------------------| + I*|------------ + ------------------| - --------------
  \     4                 4         /     \     4                 4         /         2
i(−2233cos⁡(π18)4+223sin⁡(π18)4)−223isin⁡(π18)2+i(223sin⁡(π18)4+2233cos⁡(π18)4)i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right) - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right) 
producto
/ 2/3    /pi\      2/3    /pi\\ /  / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\ /  / 2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\
|2   *cos|--|   I*2   *sin|--|| |  |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|| |  |2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--||
|        \18/             \18/| |  |        \18/                 \18/|           \18/                 \18/| |  |        \18/                 \18/|           \18/                 \18/|
|------------ - --------------|*|I*|------------ - ------------------| - ------------ - ------------------|*|I*|------------ + ------------------| - ------------ + ------------------|
\     2               2       / \  \     4                 4         /        4                 4         / \  \     4                 4         /        4                 4         /
(223cos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2)(−223cos⁡(π18)4−2233sin⁡(π18)4+i(−2233cos⁡(π18)4+223sin⁡(π18)4))(−223cos⁡(π18)4+2233sin⁡(π18)4+i(223sin⁡(π18)4+2233cos⁡(π18)4))\left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{4}\right)\right) 
=
        ___
  I   \/ 3 
- - + -----
  4     4
34−i4\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4} 
-i/4 + sqrt(3)/4
Respuesta numérica [src] 
w1 = -0.27146156765474 + 0.745834527381153*i
w2 = 0.781642431559009 - 0.137824649950423*i
w3 = -0.510180863904268 - 0.60800987743073*i
w3 = -0.510180863904268 - 0.60800987743073*i
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