Tenemos la ecuación
$$n = \frac{1754 \sqrt{- 0.00015 n + \left(\left(\left(- n 380 \frac{1 \cdot 10^{-5} \cdot 19}{40} + \left(\frac{4191}{200} - 8.925 \cdot 10^{-5} n^{2}\right)\right) - 144400 \frac{0.0001 \cdot 9}{125}\right) + \frac{\left(-13\right) 380}{250}\right)}}{5} + \frac{\left(-3\right) 380}{10}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 138.252589866518 \sqrt{- 0.000574620139067745 n^{2} - 0.0125869173319601 n + 1} = - n - 114$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 10.98316212 n^{2} - 240.5835512 n + 19113.7786047995 = \left(- n - 114\right)^{2}$$
$$- 10.98316212 n^{2} - 240.5835512 n + 19113.7786047995 = n^{2} + 228 n + 12996$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 11.98316212 n^{2} - 468.5835512 n + 6117.77860479953 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*n^2 + b*n + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$n_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$n_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -11.98316212$$
$$b = -468.5835512$$
$$c = 6117.77860479953$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-468.5835512)^2 - 4 * (-11.98316212) * (6117.77860479953) = 512811.875797524
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
n1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
n2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$n_{1} = -49.4315433137496$$
$$n_{2} = 10.3280457137355$$
Como
$$\sqrt{- 0.000574620139067745 n^{2} - 0.0125869173319601 n + 1} = 0.00723313755616077 n + 0.824577681402327$$
y
$$\sqrt{- 0.000574620139067745 n^{2} - 0.0125869173319601 n + 1} \geq 0$$
entonces
$$0.00723313755616077 n + 0.824577681402327 \geq 0$$
o
$$-114 \leq n$$
$$n < \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$n_{1} = -49.4315433137496$$
$$n_{2} = 10.3280457137355$$