(x+3)^4+(x+5)^4=2 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 3\right)^{4} + \left(x + 5\right)^{4} = 2$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$2 \left(x + 4\right)^{2} \left(x^{2} + 8 x + 22\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x^{2} + 16 x + 44 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x^{2} + 16 x + 44 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 16$$
$$c = 44$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(16)^2 - 4 * (2) * (44) = -96

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -4 + \sqrt{6} i$$
$$x_{2} = -4 - \sqrt{6} i$$
2.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -4
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = -4 + \sqrt{6} i$$
$$x_{2} = -4 - \sqrt{6} i$$
$$x_{3} = -4$$